Was ist ein bestimmtes Integral? Die Fläche unter dem Graphen Schritt für Schritt

Die Idee: viele kleine Stücke zusammenzählen

Die Fläche eines Rechtecks ist Breite mal Höhe. Schwierig wird es, wenn der obere Rand einer Fläche gekrümmt ist. Die Idee des Integrals ist einfach: Zerlege die Fläche in schmale Streifen. Jeder Streifen ist fast ein Rechteck, seine Fläche lässt sich also leicht berechnen. Zusammen ergeben die Streifen ungefähr die ganze Fläche - und je schmaler sie sind, desto genauer.

Nach demselben Prinzip funktionieren viele Größen aus dem Alltag:

• der zurückgelegte Weg ist die Fläche unter dem Graphen der Geschwindigkeit - ändert sich das Tempo, addierst du viele kurze Zeitabschnitte mal die jeweilige Geschwindigkeit,
• die verbrauchte Energie ist die Fläche unter dem Graphen der Leistung,
• die Tageseinnahmen eines Ladens sind die Summe der Einnahmen aus jeder einzelnen Minute.

Von den Rechtecken zum Integral

Du kannst die Animation mit den Schaltflächen oder den Pfeiltasten Schritt für Schritt durchgehen.

Bei sehr schmalen Streifen spielt es keine Rolle mehr, ob du die Höhe am linken Rand, am rechten Rand oder in der Mitte abliest - die Summen nähern sich alle derselben Zahl.

Probier es aus: Rechtecke unter beliebigen Graphen

Wähle eine Funktion und ein Intervall, verändere die Anzahl der Rechtecke und die Stelle, an der ihre Höhe abgelesen wird, und vergleiche die Summe mit dem Integral. Bei $\sin x$ und $x^3 - 3x$ liegt ein Teil des Graphen unterhalb der $x$-Achse - dort zählen die Rechtecke negativ.

Was dir auffallen sollte:

• je mehr Rechtecke, desto kleiner der Unterschied zwischen ihrer Summe und dem Integral,
• Rechtecke mit der Höhe aus der Mitte des Streifens treffen meist viel besser als die mit der Höhe vom linken oder rechten Rand - schon bei wenigen Rechtecken ist der Unterschied klein,
• liegt der Graph teils über und teils unter der Achse, kann das Integral fast null sein, obwohl die Fläche alles andere als klein ist.

Die Definition

Teile das Intervall $[a, b]$ in $n$ Streifen der Breite $\Delta x = \frac{b - a}{n}$ und wähle in jedem Streifen eine Stelle $x_i$. Die Summe der Rechteckflächen $\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$ heißt Riemann-Summe. Das bestimmte Integral ist ihr Grenzwert:

Nimmst du in jedem Streifen den größten Funktionswert als Höhe, erhältst du die Obersumme, mit dem kleinsten die Untersumme. Das Integral liegt immer dazwischen, und beide Summen nähern sich ihm, wenn die Streifen immer schmaler werden. Weil $x^2$ auf $[0, 2]$ steigt, war in der Animation die Summe mit rechten Rändern genau die Obersumme und die mit linken Rändern die Untersumme.

Das Zeichen $\int$ ist ein langgezogenes S - wie „Summe“ - und geht auf Leibniz zurück. Das $dx$ erinnert an die Breite der Streifen.

Den Grenzwert einer Summe jedes Mal auszurechnen, wäre mühsam. Zum Glück gibt es eine Abkürzung: den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Ist $f$ stetig und $F$ eine Stammfunktion von $f$, also $F'(x) = f(x)$, dann gilt

Warum stimmt das? Die Ableitung $f = F'$ gibt an, wie schnell $F$ wächst. Auf einem schmalen Streifen wächst $F$ daher um ungefähr $f(x_i)\,\Delta x$ - genau um die Fläche des Rechtecks. Zählst du alle diese Zuwächse von $a$ bis $b$ zusammen, erhältst du den gesamten Zuwachs von $F$, also $F(b) - F(a)$. Integrieren ist damit gewissermaßen die Umkehrung des Ableitens.

Beispiel 1: die Fläche unter einer Parabel

Eine Stammfunktion von $x^2$ ist $\frac{x^3}{3}$, denn $\left(\frac{x^3}{3}\right)' = x^2$. Also gilt

Das ist genau die Zahl, der sich die Rechtecke genähert haben. Und die Fläche aus der Frage am Anfang ist $\int_0^1 x^2\,dx = \frac{1}{3}$.

Beispiel 2: die Fläche unter der Sinuskurve

Eine Stammfunktion von $\sin x$ ist $-\cos x$, denn $(-\cos x)' = \sin x$. Also gilt

Jetzt du

Berechne $\int_1^3 (2x + 1)\,dx$ und prüfe das Ergebnis dann geometrisch: Welche Figur bildet die Fläche unter diesem Graphen?

Häufige Fehler

• Fläche unterhalb der $x$-Achse. Das Integral zählt sie negativ. $\int_0^{2\pi} \sin x\,dx = 0$, obwohl Graph und Achse eine Fläche mit dem Inhalt $4$ einschließen. Für den Flächeninhalt integrierst du die Teile über und unter der Achse getrennt, von Nullstelle zu Nullstelle, und addierst die Beträge.
• Falsche Reihenfolge. Es heißt $F(b) - F(a)$, nicht $F(a) - F(b)$. Vertauschst du die beiden, kehrt sich das Vorzeichen des Ergebnisses um.
• Die Konstante $C$. Beim unbestimmten Integral schreibt man $+\,C$, weil es unendlich viele Stammfunktionen gibt. Beim bestimmten Integral fällt $C$ weg: $(F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)$.
• Bestimmtes und unbestimmtes Integral verwechseln. Das bestimmte Integral mit den Grenzen $a$ und $b$ ist eine Zahl. Das unbestimmte Integral ist die Menge aller Stammfunktionen $F(x) + C$.

Im Abitur und im Studium

Im Abitur gehört die Integralrechnung zur Analysis. Für alle Länder verbindlich sind dabei die Bildungsstandards der Kultusministerkonferenz für die Allgemeine Hochschulreife; seit dem Schuljahr 2016/2017 sollen die Abiturprüfungen auf ihnen beruhen. Schon auf grundlegendem Anforderungsniveau sollst du danach das bestimmte Integral deuten können, vor allem als (re-)konstruierten Bestand - etwa den Weg aus der Geschwindigkeit. Außerdem sollst du den Hauptsatz geometrisch-anschaulich als Beziehung zwischen Ableitung und Integral begründen, Funktionen mithilfe von Stammfunktionen integrieren und Flächen berechnen können, die von Funktionsgraphen begrenzt werden. Auf erhöhtem Anforderungsniveau kommt das Volumen von Körpern hinzu, die durch Rotation um die $x$-Achse entstehen. Seit dem Prüfungsjahr 2017 stehen den Ländern in Mathematik außerdem gemeinsame Abituraufgabenpools zur Verfügung, die auf diesen Standards aufbauen - welche Aufgaben daraus ins Abitur kommen, entscheidet jedes Land selbst.

Im Mathematikstudium triffst du das Integral in der Analysis wieder, einer der beiden Grundvorlesungen, mit denen das Studium normalerweise beginnt. Dort wird es exakt definiert: Die offene Lehrbuchreihe „Mathe für Nicht-Freaks“ etwa führt in ihrem Band „Analysis 1“ das Riemann-Integral über Ober- und Untersummen ein und behandelt danach unter anderem den Hauptsatz, partielle Integration und Substitution sowie uneigentliche Integrale. In der Physik liefert das Integral den Weg aus der Geschwindigkeit und die Arbeit aus der Kraft.

Teste dich

Karteikarten zum Wiederholen

Dreh eine Karte um und gib an, ob du die Antwort wusstest. Karten, die du noch nicht kanntest, kommen ans Ende des Stapels. Warum es sich lohnt, sie in ein paar Tagen noch einmal anzuschauen, erklärt der Ratgeber Verteilte Wiederholung.