O que é a integral definida? A área sob o gráfico, passo a passo

A ideia: somar muitos pedacinhos

A área de um retângulo é base vezes altura. O problema começa quando a borda de cima da região é curva. A ideia da integral é simples: corte a região em faixas estreitas. Cada faixa é quase um retângulo, então a área dela é fácil de calcular. Somando as áreas das faixas, você chega perto da área total - e, quanto mais estreitas as faixas, melhor.

Muita coisa do dia a dia funciona assim:

• a distância percorrida é a área sob o gráfico da velocidade - quando a velocidade muda, você soma intervalos curtos de tempo vezes a velocidade,
• a energia que um aparelho gasta é a área sob o gráfico da potência - com potência constante, é só potência vezes tempo de uso,
• o faturamento de um dia é a soma do que entrou em cada minuto.

Dos retângulos à integral

Avance pela animação passo a passo usando os botões ou as setas do teclado.

Quando as faixas são bem estreitas, tanto faz se a altura vem da ponta esquerda, da direita ou do meio - as somas se aproximam do mesmo número.

Experimente: retângulos sob qualquer gráfico

Escolha uma função e um intervalo, mude o número de retângulos e o jeito de definir a altura deles, e compare a soma com a integral. Em $\operatorname{sen} x$ e $x^3 - 3x$, parte do gráfico fica abaixo do eixo $x$ - ali os retângulos contam como negativos.

O que vale observar:

• quanto mais retângulos, menor a diferença entre a soma e a integral,
• os retângulos com a altura tirada do meio da faixa costumam acertar muito mais do que os da ponta esquerda ou direita - com poucos retângulos, a diferença já é pequena,
• quando parte do gráfico fica acima do eixo e parte abaixo, a integral pode dar perto de zero, mesmo que a região não seja nada pequena.

Definição

Dividimos o intervalo $[a, b]$ em $n$ faixas de largura $\Delta x = \frac{b - a}{n}$ e escolhemos um ponto $x_i$ em cada uma. A integral definida é o limite da soma das áreas dos retângulos:

O sinal $\int$ é um S alongado - de “soma” - e o $dx$ lembra a largura das faixas.

Calcular o limite de uma soma toda vez daria muito trabalho. Felizmente existe um atalho: o Teorema Fundamental do Cálculo. Se $F$ é uma primitiva de $f$, ou seja, $F'(x) = f(x)$, então

Por que isso funciona? A derivada $f = F'$ diz com que rapidez $F$ cresce. Numa faixa estreita, então, $F$ cresce mais ou menos $f(x_i)\,\Delta x$ - exatamente a área do retângulo. Somando esses aumentos de $a$ até $b$, você obtém o aumento total de $F$, que é $F(b) - F(a)$. Integrar e derivar são operações inversas.

Exemplo 1: a área sob a parábola

Uma primitiva de $x^2$ é $\frac{x^3}{3}$, porque $\left(\frac{x^3}{3}\right)' = x^2$. Assim,

É exatamente o número do qual os retângulos estavam se aproximando. E a área da pergunta do começo é $\int_0^1 x^2\,dx = \frac{1}{3}$.

Exemplo 2: a área sob a senoide

Uma primitiva de $\operatorname{sen} x$ é $-\cos x$, porque $(-\cos x)' = \operatorname{sen} x$. Assim,

Sua vez

Calcule $\int_1^3 (2x + 1)\,dx$ e depois confira o resultado pela geometria: que figura é a região sob esse gráfico?

Erros mais comuns

• Área abaixo do eixo $x$. A integral conta essa parte como negativa. $\int_0^{2\pi} \operatorname{sen} x\,dx = 0$, embora o gráfico e o eixo delimitem uma região de área $4$. Para obter a área, integre separadamente as partes acima e abaixo do eixo e some os módulos dos resultados.
• Ordem trocada. É $F(b) - F(a)$, e não $F(a) - F(b)$. Trocar a ordem inverte o sinal do resultado.
• A constante $C$. Na integral indefinida escrevemos $+\,C$, porque existem infinitas primitivas. Na integral definida, o $C$ se cancela: $(F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)$.
• Confundir integral definida com indefinida. A definida, com limites $a$ e $b$, é um número. A indefinida é uma família de funções, $F(x) + C$.

Na faculdade

Na faculdade, a integral definida é um dos temas centrais das disciplinas de Cálculo e costuma vir depois dos limites e das derivadas. No livro aberto “Cálculo Diferencial e Integral I”, de Magda e Henrique Mongelli, por exemplo, a parte sobre integrais começa pelas primitivas e pela integração por substituição e por partes. Depois vêm a integral definida como limite de somas de Riemann, o Teorema Fundamental do Cálculo, áreas de regiões planas, volumes de sólidos de revolução, comprimento de arco e integrais impróprias. A divisão entre Cálculo I e Cálculo II não é igual em todo lugar: o Wikilivros “Cálculo (Volume 1)” põe a integração por partes, as integrais impróprias e aplicações como áreas e volumes numa parte marcada como Cálculo II. Na física, a integral dá o deslocamento a partir da velocidade e o trabalho a partir da força.

Teste o que você aprendeu

Flashcards para revisão

Vire o cartão e diga se você sabia a resposta. Os que você ainda não sabe voltam para o fim do baralho. Por que vale a pena revê-los daqui a alguns dias, você descobre no guia Repetição espaçada.