Pochodna funkcji - co to jest? Wyjaśnienie krok po kroku

Jak myślisz?

Samochód rusza i po $t$ sekundach ma za sobą $s(t) = t^2$ metrów. Jaką prędkość pokazuje prędkościomierz dokładnie w chwili $t = 3$ s?

Główna idea: tempo zmiany

Funkcja opisuje, jak jedna wielkość zależy od drugiej: droga od czasu, temperatura od godziny, koszt od liczby sztuk. Średnie tempo zmiany na odcinku łatwo policzyć: zmiana $y$ podzielona przez zmianę $x$ .

Trudniej z tempem w jednym punkcie. W jednej chwili samochód nie pokonuje żadnej drogi, więc wzór „droga przez czas” daje $\frac{0}{0}$ . Pochodna omija ten problem sprytnie: liczymy średnie tempo na coraz krótszych odcinkach i patrzymy, do jakiej liczby się zbliża.

Ten sam pomysł pojawia się w wielu miejscach:

prędkość to pochodna drogi po czasie, a przyspieszenie - pochodna prędkości,
tempo nagrzewania to pochodna temperatury po czasie,
w ekonomii koszt krańcowy mówi, o ile wzrośnie koszt, gdy wyprodukujesz jedną sztukę więcej.

Od siecznej do stycznej

Na wykresie średnie tempo zmiany to nachylenie siecznej - prostej przez dwa punkty wykresu. Animację możesz przechodzić krok po kroku przyciskami albo strzałkami na klawiaturze.

P = (1, 1)

Krok 1 z 5

Zauważ, że ani razu nie wstawiliśmy $h = 0$ - wyszłoby wtedy $\frac{0}{0}$ . Patrzymy tylko, do czego nachylenie siecznej się zbliża. To jest właśnie granica.

Wypróbuj: pochodna w każdym punkcie

Pochodna to nie jedna liczba. W każdym punkcie wykresu styczna ma inne nachylenie. Przesuwaj punkt $x_0$ i patrz na styczną. Każde położenie zostawia kropkę na dolnym wykresie, na wysokości nachylenia stycznej. Zanim pokażesz cały wykres $f'$ , spróbuj zgadnąć, jak wygląda.

Funkcja

x²x³ − 3xsin x

Punkt x₀x₀ = 1

f(x₀): 1
nachylenie stycznej, f′(x₀): 2
w pobliżu x₀ funkcja: rośnie

Każde sprawdzone nachylenie to punkt wykresu f′

Co warto zauważyć:

dla $f(x) = x^2$ kropki układają się w prostą $y = 2x$ - to wykres pochodnej,
tam, gdzie funkcja rośnie, pochodna jest dodatnia, a tam, gdzie maleje - ujemna,
na szczycie i w dołku styczna jest pozioma, więc pochodna jest zerem; dla $x^3 - 3x$ dzieje się to w $x = -1$ i $x = 1$ ,
wykres pochodnej $\sin x$ to wykres $\cos x$ .

Definicja

Pochodną funkcji $f$ w punkcie $x_0$ nazywamy granicę

f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h},

o ile ta granica istnieje i jest skończona. Ułamek pod granicą to iloraz różnicowy - nachylenie siecznej z animacji. Gdy policzymy pochodną w każdym punkcie, dostajemy nową funkcję $f'(x)$ : przypisuje ona każdemu $x$ nachylenie stycznej.

Styczna do wykresu w punkcie $(x_0, f(x_0))$ ma nachylenie $f'(x_0)$ , więc jej równanie to

y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0).

Przykład 1: pochodna x² z definicji

Liczymy iloraz różnicowy w dowolnym punkcie $x$ i dopiero na końcu przechodzimy z $h$ do zera:

\begin{aligned} \frac{(x + h)^2 - x^2}{h} &= \frac{2xh + h^2}{h} \\ &= 2x + h \;\longrightarrow\; 2x. \end{aligned}

Zatem $(x^2)' = 2x$ . Dla $x = 1$ wychodzi $2$ - tyle, ile pokazała animacja.

Przykład 2: styczna do x³ w punkcie 2

\begin{aligned} \frac{(2 + h)^3 - 8}{h} &= \frac{12h + 6h^2 + h^3}{h} \\ &= 12 + 6h + h^2 \\ &\longrightarrow 12. \end{aligned}

Styczna do wykresu $y = x^3$ w punkcie $(2, 8)$ ma nachylenie $12$ , a jej równanie to $y = 12(x - 2) + 8$ , czyli $y = 12x - 16$ .

Teraz Ty

Policz z definicji pochodną funkcji $f(x) = 3x^2 - 2x$ w punkcie $x_0 = 1$ .

Wskazówkapokaż

Policz osobno $f(1 + h)$ i $f(1)$ , odejmij i podziel przez $h$ . Skróć $h$ , zanim zaczniesz myśleć o granicy.

Rozwiązanienajpierw spróbuj samodzielnie

$f(1 + h) = 3(1 + 2h + h^2) - 2(1 + h) = 1 + 4h + 3h^2$ , a $f(1) = 1$ . Stąd

\begin{aligned} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} &= \frac{4h + 3h^2}{h} \\ &= 4 + 3h \;\longrightarrow\; 4. \end{aligned}

Zatem $f'(1) = 4$ . Sprawdzenie wzorem, który poznasz w kursie: $f'(x) = 6x - 2$ , więc $f'(1) = 4$ .

Najczęstsze błędy

Wstawienie $h = 0$ od razu. Wychodzi $\frac{0}{0}$ , a to nie jest liczba. Najpierw upraszczamy iloraz (skracamy $h$ ), dopiero potem patrzymy, do czego dąży.
Mylenie $f'(x_0)$ z $f'(x)$ . $f'(1) = 2$ to liczba - nachylenie w jednym punkcie. $f'(x) = 2x$ to funkcja - nachylenie w każdym punkcie.
„Styczna ma z wykresem tylko jeden punkt wspólny”. Nie zawsze. Styczna do $y = x^3$ w punkcie $(1, 1)$ to $y = 3x - 2$ i przecina wykres jeszcze raz, w punkcie $(-2, -8)$ . Styczna mówi o kierunku wykresu w jednym miejscu, a nie o liczbie punktów wspólnych.
„Pochodna istnieje zawsze”. Wykres $|x|$ ma w zerze ostrze: sieczne z prawej mają nachylenie $1$ , a z lewej $-1$ . Granica nie istnieje, więc pochodnej w zerze nie ma.

Na egzaminie

Pochodna jest w wymaganiach matury rozszerzonej z matematyki: trzeba umieć ją obliczać (także ze wzorów na pochodną sumy, iloczynu i ilorazu), badać nią monotoniczność funkcji i rozwiązywać zadania optymalizacyjne - np. o największym polu albo najmniejszym koszcie. Na maturze 2026 w zadaniu z pochodną i optymalizacją zdający uzyskali średnio 47% punktów (sprawozdanie CKE). Na studiach pochodna jest jednym z głównych tematów analizy matematycznej: dochodzą twierdzenia i wzory na pochodne, reguła de l’Hospitala i badanie przebiegu zmienności funkcji.

Sprawdź się

Ile wynosi nachylenie stycznej do wykresu $f(x) = x^2$ w punkcie $x_0 = 2$ ?

Wiesz, że $f'(x_0) = -3$ . Co z tego wynika?

Iloraz różnicowy funkcji $f(x) = x^2$ w punkcie $1$ , czyli $\frac{f(1 + h) - f(1)}{h}$ , po uproszczeniu to:

W których punktach styczna do wykresu $f(x) = x^3 - 3x$ jest pozioma?

Jakie równanie ma styczna do wykresu $f(x) = x^2$ w punkcie $(2, 4)$ ?

Fiszki do powtórki

Odwróć fiszkę i oceń, czy znasz odpowiedź. Te, których jeszcze nie znasz, wrócą na koniec talii. Dlaczego warto wrócić do nich za kilka dni, przeczytasz w poradniku Powtórki rozłożone w czasie.

Fiszki

Co mówi pochodna funkcji w punkcie?
Jak szybko zmienia się funkcja w tym punkcie. Na wykresie to nachylenie stycznej.
Jak brzmi definicja pochodnej $f'(x_0)$ ?
$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ , o ile ta granica istnieje i jest skończona.
Co to jest iloraz różnicowy?
Ułamek $\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ - nachylenie siecznej przez punkty wykresu w $x_0$ i $x_0 + h$ .
Jakie równanie ma styczna do wykresu w punkcie $(x_0, f(x_0))$ ?
$y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$
Ile wynosi pochodna $x^2$ ?
$(x^2)' = 2x$
Co wynika z tego, że $f'(x_0) < 0$ ?
W pobliżu $x_0$ funkcja maleje - styczna jest nachylona w dół.
Czym różni się $f'(1)$ od $f'(x)$ ?
$f'(1)$ to liczba - nachylenie w jednym punkcie. $f'(x)$ to funkcja - nachylenie w każdym punkcie.
Czy funkcja $|x|$ ma pochodną w zerze?
Nie. Sieczne z prawej mają nachylenie $1$ , a z lewej $-1$ , więc granica nie istnieje.
Czego pochodną jest prędkość, a czego przyspieszenie?
Prędkość to pochodna położenia po czasie, a przyspieszenie - pochodna prędkości.

Pochodna funkcji - co to jest? Wyjaśnienie krok po kroku

W skrócie

Najważniejsze pojęcia

Główna idea: tempo zmiany

Od siecznej do stycznej

Wypróbuj: pochodna w każdym punkcie

Definicja

Przykład 1: pochodna x² z definicji

Przykład 2: styczna do x³ w punkcie 2

Teraz Ty

Najczęstsze błędy

Na egzaminie

Sprawdź się

Fiszki do powtórki

Źródła

Przećwicz

Pochodne od podstaw

Pochodna z definicji

Równanie stycznej do wykresu

Ekstrema lokalne funkcji sześciennej

Więcej wyjaśnień

Całka oznaczona - co to jest? Pole pod wykresem krok po kroku

Całkowanie przez części i przez podstawienie - dwie metody krok po kroku

Granica ciągu i funkcji - co to jest? Wyjaśnienie krok po kroku